Dragan Marušič in Rudi Bučar o stičiščih matematike in glasbe
Kdor je resnično okusil obe in se ob tem ni opekel, ve, da sta matematika in glasba še kako združljivi, pa četudi ju v naših logih držimo daleč narazen. V torek sta ju na koprski Fakulteti za humanistične študije v okviru študijskega programa biopsihologija zbliževala matematik prof. dr. Dragan Marušič in glasbenik Rudi Bučar.
Njun prvi cilj je bil raziskovanje povezav med matematiko in umetnostjo. “To je morda še najlažje vidno na stičišču glasbe, verjetno najčistejšega izraza človekove duše, in matematike, najčistejše forme človekovega uma,” pravi Marušič, ki ugotavlja, da ima družba nekoliko zgrešen pogled na to, kaj matematika sploh je, pa “čeprav so aplikacije matematičnih teorij vpete v socialno tkivo naše civilizacije do te mere, da si je nemogoče zamišljati ustrezno delovanje moderne družbe brez eksplicitne ali vsaj implicitne uporabe matematike”.
Njun drugi cilj je bil konkretnejši in ambicioznejši: “Matematično bova skušala odgovoriti na vprašanje, zakaj je prav pentatonska lestvica najbolj razširjena lestvica glasbenih tradicij malone po vsem svetu.”
Srečanje
Dragan Marušič in Rudi Bučar sta se o tovrstnih rečeh prvič pogovarjala pred kakimi štirimi, petimi leti, ko sta se srečala na obisku pri Draganovem bratu Andreju. “Pogovor je nanesel na glasbo in matematiko,” se spominja matematik. “Rudi je spraševal o matematičnih pravilih, povezanih z glasbo, jaz pa sem poizvedoval v nasprotni smeri. In se spomnil na štiri leta, ki sem jih v obdobju 1985-1992 preživel na Univerzi Kalifornije v Santa Cruzu. Tam sem se poleg matematike ukvarjal še z marsičim drugim. Hodil sem recimo na koncerte skupine Grateful Dead, o kateri bi veljalo spregovoriti tudi v konteksta moderne krize današnjega sveta. Včasih je imela odgovore na takšne probleme, skovala je alternativno življenje, ki je znotraj kapitalizma ohranjalo solidarnost. Tam sem spoznal tudi matematika in glasbenika Andrewa Duncana, ki je magistriral prav iz povezave med enim in drugim. Z mano se je posvetoval o nekaterih matematičnih podrobnostih.”
Dvanajst!
Ker glasbene lestvice temeljijo na številu 12, je Marušič na zelo dobro obiskanem predavanju oktavo najprej razdelil na dvanajst enakih delov, na dvanajst enot, dvanajst poltonov, zatem pa jih sklenil v krog. Na platnu se je izrisala nekakšna ura. “Naj nas ne preseneča, da tudi glasbena lestvica deluje tako,” je dejal Marušič. “Število 12 je namreč vgrajeno v našo civilizacijo. Najdemo ga marsikje: pri uri, pri koledarskem letu, dvanajst je zodiakalnih znamenj, dvanajst je zvezd na evropski zastavi, dvanajst je parov reber, merska enota čevelj se deli na dvanajst palcev, v angleškem jeziku beseda 'teenager' označuje otroka, starejšega od 12 let ...”
Obenem je 12 najmanjše “obilno število”, kakor temu pravijo matematiki. Vsota njegovih deliteljev brez njega samega (1 + 2 + 3 + 4 + 6 > 16) je namreč večja od njega (12). “Kdor bo malce računal, bo ugotovil, da je obilnih števil malo. Če je vsota deliteljev enaka številu, pa govorimo o popolnih številih. Nekateri celo pravijo, da bi morale biti združbe ljudi urejene tako, da bi bilo število članov čim bliže popolnim in obilnim številom, saj se potem skupine v medčloveški interakciji lažje delijo na podskupine. Na primer: v razredu je bolje imeti 24 učencev kakor 27 ali 32.”
12 je tudi “vzvišeno število”, je nadaljeval Marušič. Namreč, število njegovih deliteljev, vključno z njim samim, je popolno število (12 ima šest pravih deliteljev, 6 pa je popolno število) in tudi vsota vseh pravih deliteljev je popolno število (1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 > 28). Mimogrede, znani sta le dve vzvišeni števili: eno je 12, drugo pa dolga klobasa, ki je časopis ne bi prebavil.
“Skratka, število 12 je res nekaj posebnega,” je prikimal Marušič in prisluhnil Bučarju, ki je predavanje tu in tam rahljal z vmesnimi kantavtorskimi nastopi, po potrebi pa vskočil z muzikološkim pojasnilom.
Interval, akord, lestvica
Zatem je vpeljal izraz interval, ki v glasbi označuje razdaljo med dvema tonoma oziroma njunima višinama. “Na primer: če bi gledali na klavirju, je kvarta interval med prvo in četrto, kvinta pa interval med prvo in peto belo tipko.” Omemba kvarte in kvinte ni naključje - že stari Grki so vedeli, da sta v harmoniji to najpomembnejša intervala, ki skupaj tvorita oktavo.
Če izmed dvanajstih poltonov izberemo tri, skupaj tvorijo kvintakord, na primer durov ali molov, kar je Marušič predstavil tako z obarvanjem ustreznih točk na krogu kakor z binarnimi zaporedji. In izračunal, da je na 12-poltonski lestvici mogoče dobiti 19 “bistveno” različnih kvintakordov. Če iz dvanajstih poltonov namesto treh ven potegnemo pet poltonov, pa dobimo 66 možnih kombinacij. S postopkom, ki ga je še težje ubesedovati kakor doslej zapisano, je pokazal, da se kot 66. možnost izpiše prav pentatonska lestvica, ki edina vsebuje maksimalno število kvart in kvint, prav v tem pa se po njegovem mnenju skriva njena privlačnost.
Domnevo potrjuje dejstvo, da ima maksimalno število kvart in kvint tudi c-durova oziroma osnovna diatonična lestvica, ki je pentatonski komplementarna: glasbenik jo dobi, če med 12 poltoni izbere vseh sedem, ki jih pri pentatonski ni.
Še preden so zbrani premislili slišano, je Bučar že prepeval ljubezensko Wonderful World, v kateri Sam Cooke pravi: “Ne vem kaj dosti o geografiji, ne vem kaj dosti o trigonometriji, ne vem kaj dosti o algebri ...” Skratka, primerna pesem za priložnost.
Prvo tovrstno predavanje si zasluži pohvalo in spodbudo, pa tudi dobrohotni nasvet: matematik in glasbenik bosta poslušalcem v prihodnje olajšala spremljanje, če se bosta uskladila tako, da bo številom, seštevkom, kombinacijam in teorijam sledilo še takojšnje pojasnilo s pomočjo glasbila.
ANDRAŽ GOMBAČ
